Basit doğrusal regresyon

1. Soru: bir referans ölçümü sensör sinyaline nasıl bağlarız?

Bir gemi yardımcı sistemindeki basınç sensörünü tezgâhta incelediğinizi düşünün. x, güvenilir referans basıncı (bar); y, sensörün elektriksel çıkışı (V) olsun. Aşağıdaki küçük veri kümesi tamamen sentetiktir. Sertifikalı kalibrasyon, gerçek gemi verisi veya emniyet sınırı değildir. Aynı birimlerle girilmiş her satır bir eşzamanlı ölçüm çiftidir.

Amaç y ≈ b₀ + b₁x ilişkisini betimlemektir. En küçük kareler, düşey artıkların kareleri toplamını en aza indirir. x ve y yer değiştirirse farklı bir optimizasyon yapılır: bu doğruyu cebirsel olarak ters çevirmek, x’i y üzerinden modelleyen regresyon yapmakla aynı değildir.

2. Denklem, semboller ve birimler

ŷᵢ = b₀ + b₁xᵢ; eᵢ = yᵢ − ŷᵢ; SSE = Σ eᵢ² → en küçük

x̄ = Σxᵢ/n; ȳ = Σyᵢ/n; Sxx = Σ(xᵢ − x̄)²; Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)

b₁ = Sxy/Sxx; b₀ = ȳ − b₁x̄; SST = Σ(yᵢ − ȳ)²; R² = 1 − SSE/SST

RMSE = √(SSE/n); s = √[SSE/(n − 2)] (yalnızca n > 2)

3. Elle izlenebilir sentetik örnek

x = [0, 1, 2, 3, 4] bar ve y = [1, 3, 4, 7, 10] V için n = 5, x̄ = 2 bar ve ȳ = 5 V olur. Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 bar²; Sxy = 8 + 2 + 0 + 2 + 10 = 22 bar·V.

b₁ = 22/10 = 2,2 V/bar; b₀ = 5 − 2,2 × 2 = 0,6 V; ŷ = 0,6 + 2,2x

Uyum değerleri [0,6; 2,8; 5; 7,2; 9,4] V; artıklar [0,4; 0,2; −1; −0,2; 0,6] V olur. SSE = 0,16 + 0,04 + 1 + 0,04 + 0,36 = 1,6 V²; SST = 16 + 4 + 1 + 4 + 25 = 50 V².

RMSE = √(1,6/5) ≈ 0,565685 V; s = √(1,6/3) ≈ 0,730297 V; R² = 1 − 1,6/50 = 0,968

“Tam çözümlü örneği yükle” bu beş çifti ve bar/V etiketlerini tam olarak geri yükler; ardından “Doğruyu uydur” düğmesine basın. b₀, modelin x = 0 değeridir; gözlem aralığınız sıfırı kapsamıyorsa fiziksel sıfır hatası olarak yorumlamayın.

4. Artıkları okuyun, yalnızca R²'ye bakmayın

Pozitif artık, ölçülen y'nin doğrunun üzerinde olduğunu söyler. Sistematik eğrilik doğrusal modelin yetersizliğine; büyüyen saçılma değişen hata ölçeğine; tek başına uzak bir x noktası yüksek etkiye işaret edebilir. Zaman sıralı ölçümlerde ardışık artıkların ilişkili olması da mümkündür. Bu grafikler tanı koyan bir test değildir; kontrol için başlangıçtır. Aykırı görünen bir noktayı gerekçesiz silmek yerine ölçüm koşullarını araştırın.

R² bu veri kümesindeki y değişiminin ne kadarının doğruyla temsil edildiğini özetler. Nedensellik, doğru bir fiziksel model veya yeni ölçümlerde doğruluk garantisi vermez. RMSE eğitim verisindeki hatayı özetler; s iki uydurulmuş parametre için n − 2 paydasını kullanır. Bu iki büyüklük farklıdır. Sabit y için SST = 0 olduğundan R² tanımsızdır. Sabit x için eğim belirlenemez.

5. Varsayımlar, sayısal sınırlar ve güvenli kullanım

Hesaplayıcı her noktaya eşit ağırlık verir ve x'i sabit, hatasız açıklayıcı değişken olarak ele alır. x'teki önemli ölçüm hatası, farklı sensör belirsizlikleri, doygunluk veya doğrusal olmayan davranış başka yöntemler gerektirebilir. Artık standart sapmasının ortak bir hata ölçeği olarak yorumu; uygun model, bağımsız hatalar ve yaklaşık sabit varyans gerektirir. Burada normal dağılım varsayarak çıkarım yapılmaz; p-değeri, güven aralığı veya öngörü aralığı hesaplanmaz.

Gözlenen x aralığının dışında güvenilir öngörü iddiasında bulunmayın. Gerçek kalibrasyonda izlenebilir referans, ölçüm belirsizliği, tekrarlar, sıcaklık etkileri ve ilgili teknik prosedürler ayrıca gerekir. Artık toplamının sıfıra yakın olması, yöntemin sabit teriminden kaynaklanır; bağımsız doğrulama değildir.

Uygulama önce eksenleri merkezler ve aralıklarına böler; toplamları telafili toplama ile biriktirir. Böylece çok büyük ofsetlerde ham Σx² − (Σx)²/n çıkarımından kaçınır. Artıklar merkezlenmiş koordinatlarda hesaplanır; ekranda yuvarlanan y ve ŷ farkı son basamakta farklı görünebilir. Sayısal sınırlar fiziksel kabul kriterleri değildir.

Kaynaklar ve yöntem kapsamı

NIST/SEMATECH: en küçük karelerle model uydurma; NIST/SEMATECH: doğrusal en küçük kareler regresyonu. Ders özgün bir eğitim özetidir. Hesaplayıcı sürümü: ols-teaching-1.0.0.