Açıklamalı hesaplamalar

Elastik kiriş: dört analitik durum

Dört sabit EI, küçük şekil değiştirmeli Euler–Bernoulli durumunda mesnet tepkileri, kesme, moment ve sehimi inceleyin. FEM veya kapasite onayı değildir.

YAPI MEKANİĞİ · 1.0.2

Elastik kiriş: dört analitik yük durumu

Yükten mesnet tepkilerine, kesme kuvvetine, eğilme momentine ve elastik eğriye ilerleyin. Dört ideal durum Euler–Bernoulli kuramı kapsamında analitik olarak çözülür.

Sabit E ve I değerlerine sahip tek prizmatik kiriş. Gemi teknesinin boyuna kiriş modeli, rastgele mesnet düzeni veya genel yapı çözücüsü değildir.

Modeli tanımlayın

Ondalık ayırıcı olarak nokta veya virgül kullanın; binlik ayırıcı kullanmayın. Birimi değiştirmek görünen sayıyı yeni birimde yorumlar; dönüşüm yaparken eşdeğer sayıyı da girin.

Mesnet ve yük durumu

Açıklık L

Açıklık L · Birim

Basit mesnetler arası veya ankastreden serbest uca uzaklık.

Elastisite modülü E

Elastisite modülü E · Birim

Pozitif elastisite modülünü siz verirsiniz; örnek sentetiktir, malzeme sertifikası değildir.

Alan atalet momenti I

Alan atalet momenti I · Birim

Eğilme eksenine göre alanın ikinci momenti (uzunluk⁴); kütlesel atalet momenti değildir.

İşaretli P veya w yükü

İşaretli P veya w yükü · Birim

Pozitif aşağı, negatif yukarı yönlüdür. İdeal mesnetler o yöndeki tepkiyi sağlayabilmelidir.

Hesaplanan tepki

Ders ve örnek aşağıda okunabilir. Etkileşimli alanlar modül yüklendiğinde etkinleşir.

Tarayıcınızda yerel olarak çalışır. Girişler yüklenmez veya saklanmaz. CSV güncel girişleri, SI dönüşümlerini, denklemleri, varsayımları, kaynakları ve sonuçları içerir.

Serbest cisimden denkleme

Önce mesnet modelini kurun. Mafsal ve makaralı mesnet düşey yer değiştirmeyi engeller, dönmeye izin verir; simetrik yükte tepkiler eşittir. Soldaki ankastre hem yer değiştirmeyi hem dönmeyi engeller; kuvvet ile saat yönünün tersine bir tepki çifti sağlar. Bu dış moment, iç uç eğilme momentiyle ters işaretlidir.

Kirişi x konumunda keserek sol parçanın dengesini yazın. Kesme kuvveti V ile sarkma yönünde pozitif eğilme momenti M elde edilir. Tekil kuvvetler arasında dM/dx = V ve dV/dx = −w geçerlidir. Tekil kuvvet V üzerinde sıçrama oluşturur; tekil moment yoksa M, dönme ve yer değiştirme süreklidir.

Euler–Bernoulli kinematiğinde düzlem kesitler, şekil değiştirmiş eksene dik kalır. Küçük dönmelerde eğrilik d²v/dx² ile temsil edilir. Doğrusal elastisite EI d²v/dx² = M bağıntısını verir. İki kez integral alıp mesnet koşullarını uygulamak aşağıdaki dört ifadeyi üretir; ağ veya iteratif çözücü kullanılmaz.

x koordinatı soldaki mesnet veya ankastreden başlar. P ve w aşağı yönde, v ise yukarı yönde pozitiftir. Bu nedenle aşağı yöndeki çökme negatiftir. Pozitif M sarkma eğilmesidir. Kesme işareti dM/dx = V ile tanımlanır. Diyagramlarda farklı düşey ölçekler kullanılır ve yer değiştirme büyütülür; fiziksel şekil değişiminin ölçekli çizimi değildir.

Yalnız I ve L ile narinlik doğrulanamaz. Gerçek kesit yüksekliğini, eğilme eksenini ve yük yolunu bilmeniz gerekir. Derin kiriş, kaymada esnek malzeme, esnek mesnet veya büyük yer değiştirme farklı model gerektirir. Araç evrensel bir sınır uydurmadan |v|maks/L ve en büyük |θ| değerlerini gösterir.

Denizcilik eğitiminde kısa bir makine taşıyıcı kirişi, bağlantı biçimi incelendikten sonra idealleştirilebilir. Dağılı ölü yük, kendi ağırlığı sizin tarafınızdan eklenmişse w ile temsil edilebilir. Örnek titreşim, darbe, dalga ivmesi ve yerel braket ayrıntılarını kapsamaz; gerçek bir gemiye ait yük durumu değildir.

Semboller ve SI birimleri
Büyüklük	Değer	Birim
L; x	açıklık; soldan konum	m
E	elastisite modülü	Pa = N/m²
I	eğilme eksenine göre alanın ikinci momenti	m⁴
P; w	işaretli tekil kuvvet; tam açıklıkta yayılı yük	N; N/m
RA; RB	yukarı yönde pozitif düşey mesnet tepkileri	N
MA	saat yönünün tersine pozitif dış ankastre momenti	N·m
V; M	kesme kuvveti; sarkmada pozitif eğilme momenti	N; N·m
v; θ	yukarı yönde yer değiştirme; dv/dx	m; rad
EI	sabit eğilme rijitliği	N·m²

Kullanılan analitik denklemler
Mesnet ve yük durumu	Kullanılan analitik denklemler
Basit mesnetli · ortada tekil yük	RA=RB=P/2; MA=0; V=P/2 (x<L/2); V=-P/2 (x>L/2); a=min(x,L-x); M=P a/2; v=-P a(3L^2-4a^2)/(48EI); theta=-P(3L^2-12x^2)/(48EI) için x<=L/2; theta(x)=-theta(L-x) için x>L/2; eğrilik=M/(EI); \|v\|max=\|P\|L^3/(48EI); x=L/2
Basit mesnetli · tam açıklıkta yayılı yük	RA=RB=wL/2; MA=0; V=w(L/2-x); M=w x(L-x)/2; v=-w x(L^3-2Lx^2+x^3)/(24EI); theta=-w(L-2x)(L^2+2x(L-x))/(24EI); eğrilik=M/(EI); \|v\|max=5\|w\|L^4/(384EI); x=L/2
Soldan ankastre · serbest uçta tekil yük	RA=P; RB=0; MA=PL (saat yönünün tersine dış tepki); V=P (açıklık içinde; uç yükü sıçraması -P); M=-P(L-x); v=-P x^2(3L-x)/(6EI); theta=-P x(2L-x)/(2EI); eğrilik=M/(EI); \|v\|max=\|P\|L^3/(3EI); x=L
Soldan ankastre · tam açıklıkta yayılı yük	RA=wL; RB=0; MA=wL^2/2 (saat yönünün tersine dış tepki); V=w(L-x); M=-w(L-x)^2/2; v=-w x^2(6L^2-4Lx+x^2)/(24EI); theta=-w x(3L^2-3Lx+x^2)/(6EI); eğrilik=M/(EI); \|v\|max=\|w\|L^4/(8EI); x=L

Denizcilik bağlamında çözümlü örnek

Sentetik eğitim örneği: ideal basit mesnetli makine taşıyıcı kirişte L = 4 m, E = 200 GPa, I = 8000 cm⁴ ve ortada aşağı yönlü P = 20 kN olsun. Bu sayılar doğrulanmış bir kurulu parçayı tanımlamaz. Örnek düğmesi seçili durumun tam sayılarını yükler; dört örnekte aynı beyan edilen rijitlik kullanılır.

Hesaplanan tepki

Basit mesnetli · ortada tekil yük

Hesaplanan tepki
Büyüklük	Değer	Birim
Sol düşey tepki RA	10	kN
Sağ düşey tepki RB	10	kN
Dış ankastre momenti MA	0	kN·m
En büyük \|M\|	20	kN·m
En büyük \|V\|	10	kN
En büyük \|v\| konumunda işaretli yer değiştirme	-1,66666667	mm
En büyük \|v\| konumu	2	m
En büyük \|v\| / L	0,000416666667	1
En büyük \|θ\|	0,00125	rad

Görünen sonuçlar yuvarlanmıştır. Doğrulama ve CSV, dönüştürülen sayıların tüm kayan nokta hassasiyetini korur.

Doğrusal modelin matematiksel sonucu. Bu oranlar hesaplanan tepkiyi tanımlar. Geçti/kaldı eşikleri değildir.

Oklar pozitif kabulü gösterir; negatif giriş ilgili kuvvet yönünü tersine çevirir. MA dış mesnet momentidir; iç M(0) ters işaretlidir.

Düşey ölçekler ayrıdır; yer değiştirme büyütülmüştür. Tüm eksenler sıfırı içerir. Uç kesmeleri açıklığın içinden alınır; orta tekil yükün iki limiti de gösterilir.

Eğri örnekleri; tüm noktalar CSV dosyasında
x (m)	Limit	V (kN)	M (kN·m)	v (mm)	θ (rad)
0	açıklık içinde	10	0	0	-0,00125
1	açıklık içinde	10	10	-1,14583333	-0,0009375
2	sol limit	10	20	-1,66666667	0
2	sağ limit	-10	20	-1,66666667	0
3	açıklık içinde	-10	10	-1,14583333	0,0009375
4	açıklık içinde	-10	0	0	0,00125

Kullanılan analitik denklemler

RA=RB=P/2; MA=0
V=P/2 (x<L/2); V=-P/2 (x>L/2)
a=min(x,L-x); M=P a/2
v=-P a(3L^2-4a^2)/(48EI)
theta=-P(3L^2-12x^2)/(48EI) için x<=L/2; theta(x)=-theta(L-x) için x>L/2
eğrilik=M/(EI)
|v|max=|P|L^3/(48EI); x=L/2

Sayılar yerine konularak çözüm

L = 4 × 1 = 4 m
E = 200 × 1,0000000e+9 = 2,0000000e+11 Pa; I = 8.000 × 1,0000000e-8 = 0,00008 m⁴
P = 20 × 1.000 = 20.000 N; EI = 2,0000000e+11 × 0,00008 = 16.000.000 N·m²
W = P = 20.000 N
RA = RB = W/2 = 20.000/2 = 10.000 N; MA = 0
M(L/2) = PL/4 = 20.000 N·m
v(2) = −(1/48) × (20.000) × 4^3 / 16.000.000 = -0,00166666667 m = -1,66666667 mm
|v|max/L = 0,00166666667/4 = 0,000416666667; max |θ| = 0,00125 rad

Denge ve uygunluk artık değerleri
Büyüklük	Değer	Birim
RA+RB-W	0	N
MA+RBL-Wx_load	0	N m
v(0)	0	m
v(L)	0	m
M(0)	0	N m
M(L)	0	N m
theta(L/2)	0	rad
V(L/2+)-V(L/2-)+P	0	N

Listelenen her ifade, kayan nokta yuvarlaması dışında sıfır olmalıdır. Bunlar cebirsel model kontrolleridir; fiziksel doğrulama veya kural kontrolü değildir.

Model varsayımları her sonucun parçasıdır

Düz, narin, prizmatik eleman; sabit E ve I; doğrusal elastik davranış, küçük yer değiştirme ve dönme. Kesit, elastik sınır veya narinlik sertifikasyonu yapılmaz.
Yalnız gösterilen dört durum desteklenir. Kısmi yayılı yük, merkez dışı tekil yük, çoklu yüklerin süperpozisyonu, sürekli kiriş, yaylı mesnet veya değişken rijitlik sessizce yaklaştırılmaz.
Kayma deformasyonu, burulma, eksenel gerilme, ısıl şekil değiştirme, kararsızlık, yorulma ve dinamik büyütme yoktur. Kendi ağırlığı, girilen yayılı yüke eklenmedikçe dahil değildir.
İdeal mesnetler iki yönlü matematiksel kısıtlardır. Yukarı yükte gerçek tutucu bağlantı gerekebilir; yüzeyden ayrılabilen makara bu varsayımı sağlamaz.
Artık değerleri cebirsel dengeyi ve mesnet uygunluğunu sınar. Sıfır artık, modelin gerçek yapıyı temsil ettiğini kanıtlamaz.
Sayısal sınırlar işletme sınırı değildir: SI L 10⁻⁶–10⁴ m, E 10³–10¹³ Pa, I 10⁻²⁴–10⁶ m⁴; yük sıfır veya |yük| 10⁻¹²–10¹⁵ N (veya N/m). Türetilen |v| ve |θ| SI birimlerinde 10¹² ile sınırlıdır. Bu geniş aralıklar fiziksel geçerlilik sağlamaz.

Yalnız eğitim hesabıdır. Taşıma kapasitesi, güvenlik veya mevzuat onayı anlamına gelmez.

Güncel girişler

Güncel girişler
Büyüklük	Değer
Mesnet ve yük durumu	Basit mesnetli · ortada tekil yük
Açıklık L	4
Açıklık L · Birim	m
Elastisite modülü E	200
Elastisite modülü E · Birim	GPa
Alan atalet momenti I	8.000
Alan atalet momenti I · Birim	cm⁴
İşaretli P veya w yükü	20
İşaretli P veya w yükü · Birim	kN

Varsayımlar ve sınırlar

Düz, narin, prizmatik eleman; sabit E ve I; doğrusal elastik davranış, küçük yer değiştirme ve dönme. Kesit, elastik sınır veya narinlik sertifikasyonu yapılmaz.
Yalnız gösterilen dört durum desteklenir. Kısmi yayılı yük, merkez dışı tekil yük, çoklu yüklerin süperpozisyonu, sürekli kiriş, yaylı mesnet veya değişken rijitlik sessizce yaklaştırılmaz.
Kayma deformasyonu, burulma, eksenel gerilme, ısıl şekil değiştirme, kararsızlık, yorulma ve dinamik büyütme yoktur. Kendi ağırlığı, girilen yayılı yüke eklenmedikçe dahil değildir.
İdeal mesnetler iki yönlü matematiksel kısıtlardır. Yukarı yükte gerçek tutucu bağlantı gerekebilir; yüzeyden ayrılabilen makara bu varsayımı sağlamaz.
Artık değerleri cebirsel dengeyi ve mesnet uygunluğunu sınar. Sıfır artık, modelin gerçek yapıyı temsil ettiğini kanıtlamaz.
Sayısal sınırlar işletme sınırı değildir: SI L 10⁻⁶–10⁴ m, E 10³–10¹³ Pa, I 10⁻²⁴–10⁶ m⁴; yük sıfır veya |yük| 10⁻¹²–10¹⁵ N (veya N/m). Türetilen |v| ve |θ| SI birimlerinde 10¹² ile sınırlıdır. Bu geniş aralıklar fiziksel geçerlilik sağlamaz.

Yalnız eğitim hesabıdır. Taşıma kapasitesi, güvenlik veya mevzuat onayı anlamına gelmez.

Bilginizi sınayın

Tepki kuvveti pozitifken çökme neden negatif olabilir?

Mesnet tepkisi yukarı yönde pozitiftir. Uygulanan yük aşağı yönde, v ise yukarı yönde pozitif tanımlanır; aşağı çökmede v < 0 olur. Bunlar farklı işaretli büyüklüklerdir.

I iki katına çıkarsa ne değişir?

Yük, açıklık ve E sabitken bu statikçe belirli durumlarda tepkiler, V ve M değişmez. Eğrilik, dönme ve yer değiştirme yarıya iner.

Ortada neden iki kesme kuvveti değeri var?

Ortadaki tekil yük V(L/2+) − V(L/2−) = −P sıçramasını oluşturur. Grafik ve tablo, yük noktasında tek bir değer uydurmak yerine iki tek taraflı limiti korur.

Küçük denge artığı güvenliği kanıtlar mı?

Hayır. İdeal hesap içindeki özdeşliği doğrular. Gerçek yükler, stabilite, malzeme dayanımı, bağlantılar ve geçerli kurallar ayrıca değerlendirilmelidir.

Kaynaklar ve müfredat bağı

Müfredat bağı: İTÜ GEM203 iç kuvvetler, kesme/eğilme diyagramları ve eğilmeyi; MUK204 kirişlerin elastik eğrisini kapsar. Bu araçlar konuların sınırlı eğitim uygulamalarıdır; tüm ders kapsamı veya kurum onaylı tasarım aracı değildir.

Birincil kaynak içerikleri 9 Ekim 2026 tarihinde kontrol edildi. Tarihsel mekanik yayınları denklemleri destekler; güncel tasarım kuralları değildir.

İlgili bağlam

Yöntemin açıklaması ve çözülmüş örneği bu sayfadadır. Aşağıdaki yazılar ek bağlam sağlar.

Tüm hesaplama araçları