Beta–binom Bayesçi güvenilirlik hesaplayıcı

Yöntem ve yorum

$p$, aynı görevde başarı olasılığıdır. $\mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$ önselinde $\alpha$ başarı tarafını, $\beta$ başarısızlık tarafını belirler; ikisi de pozitif olmalıdır. $s$ başarı ve $f$ başarısızlık, aynı $p$ altında koşullu bağımsız Bernoulli gözlemleridir. Eşleniklik sayesinde sonsal yine Beta dağılımıdır.

$$p\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta );L\left(p\right)\propto p^s(1-p{)}^f$$$$p|\text{data}\sim \mathrm{Beta}(\alpha +s,\beta +f)=\mathrm{Beta}(a,b)$$$$\mathrm{E}\left[p\right|\text{data}]=\frac{a}{a+b}$$$$\left[I^{-1}\right(\frac{1-\gamma }{2};a,b),I^{-1}(\frac{1+\gamma }{2};a,b\left)\right]$$$$\mathrm{P}(p\ge r|\text{data})=1-I_r(a,b)$$$$K|\text{data}\sim \mathrm{Beta-Binomial}(m,a,b)$$$$\mathrm{P}(K=k|\text{data})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)\frac{\mathrm{B}(a+k,b+m-k)}{\mathrm{B}(a,b)}$$$$\mathrm{P}(K=m|\text{data})={\prod }_{j=0}^{m-1}\frac{a+j}{a+b+j}$$

$I$, düzenlenmiş eksik beta fonksiyonudur; $B$, beta fonksiyonudur. Aralık eşit kuyrukludur, en yüksek yoğunluk aralığı değildir. Seçilen önsel ve olabilirlik altında sonsal olasılık kütlesi $\gamma$ olur. Bu inanılırlık aralığı, sıkçı güven aralığıyla aynı yorumlanmaz. Gelecek denemeler $p$ verildiğinde bağımsızdır; $p$ belirsizliği üzerinden bütünleştirilince ortak öngörüleri bağımsız değildir. Bu yüzden tümünün başarısı, genelde sonsal ortalamanın $m$. kuvvetinden farklıdır.

Çözümlü örnek · kurmaca test kanıtı

Kurmaca bir görev testinde 9 başarı ve 1 başarısızlık gözlensin. Gösterim için düzgün $\mathrm{Beta}\left(\mathrm{1,1}\right)$ önseli seçilsin; bu seçim evrensel olarak “bilgisiz” veya doğru değildir.

1. $$\mathrm{Beta}\left(\mathrm{1,1}\right)+(s=9,f=1)\to \mathrm{Beta}\left(\mathrm{10,2}\right)$$
2. $$\mathrm{E}\left[p\right|\text{data}]=\frac{10}{12}=0.83333333$$
3. %95 eşit kuyruklu inanılırlık aralığı = $[0.58722008,0.97716880]$.
4. $$\mathrm{P}(p\ge 0.8|\text{data})=1-(11\times {0.8}^{10}-10\times {0.8}^{11})=0.67787745$$
5. $$\mathrm{P}(K=5|\text{data})=\frac{10}{12}\frac{11}{13}\frac{12}{14}\frac{13}{15}\frac{14}{16}=0.45833333$$
6. $$(\frac{10}{12}{)}^5=0.40187757;\mathrm{E}[K\left|\text{data}\right]=5\times \frac{10}{12}=4.1666667$$

Gözlenen başarı oranı $\frac{9}{10}=\mathrm{0,9}$ iken sonsal ortalama 0,8333 olur; önsel de hesaba katılır. Sıfır gözlem girerseniz sonsal önsele eşittir. Farklı makul önsellerle hesabı tekrarlayıp duyarlılığı inceleyin; gözlemleri önsele ve olabilirliğe iki kez saymayın.

Birincil kaynaklar

• Stan Functions Reference: Beta-binomial distribution
• Stanford: Bayesian conjugacy and the Beta prior
• NIST: Beta distribution
• NIST DLMF §8.17: incomplete beta functions